- Алгебра над кольцом
-
Пусть
— произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль
над кольцом
, в котором для заданного билинейного отображения
определено произведение согласно равенству
называется алгеброй над
или
-алгеброй.
Согласно определению для всех
и
,
,
справедливы соотношения
, где
— единица кольца
Нетрудно убедиться, что относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.
Для
,
коммутатор определён равенством
-алгебра называется коммутативной, если
Для
,
,
ассоциатор определён равенством
-алгебра называется ассоциативной, если
Если существует элемент
такой, что
для всех
, то
называется единицей алгебры
, а сама алгебра называется алгеброй с единицей.
Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия 6 требуют более слабое:
Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение
(где
— целое число) обычно, то есть как сумму
копий
. Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.
Если вместо билинейного отображения
выбрать полилинейное отображение
и определить произведение согласно правилу
то полученная алгебраическая структура называется
-алгеброй.
Содержание
Свободная алгебра
Если алгебра
над коммутативным кольцом
является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом
. Если алгебра
имеет конечный базис, то алгебра
называется конечномерной.
Если
является полем, то, по определению,
-алгебра является векторным пространством над
, а значит, имеет базис.
Базис конечномерной алгебры обычно обозначают
, ...,
. Если алгебра имеет единицу
, то обычно единицу включают в состав базиса и полагают
. Если алгебра имеет конечный базис, то произведение в алгебре легко восстановить на основании таблиц умножения
А именно, если
,
, то произведение можно представить в виде
Величины
называются структурными константами алгебры
.
Если алгебра коммутативна, то
Если алгебра ассоциативна, то
Свойства
- Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем
можно получить, в качестве гомоморфного образа, любую ассоциативно-коммутативную алгебру над
.
Отображение алгебры
Мы можем рассматривать алгебру
над коммутативным кольцом
как модуль
над коммутативным кольцом
. Отображение
алгебры
над коммутативным кольцом
в алгебру
над кольцом
называется линейным, если
для любых
,
,
. Множество линейных отображений алгебры
в алгебру
обозначается символом
.
Линейное отображение
алгебры
в алгебру
называется гомоморфизмом, если
для любых
,
, а также выполнено условие: если алгебры
и
имеют единицу, то
Множество гомоморфизмов алгебры
в алгебру
обозначается символом
.
Очевидно, что
.
Примеры
- Общие
- алгебры квадратных матриц
- алгебры многочленов
- алгебра формальных степенных рядов
- Алгебры над полем вещественных чисел
Категория:- Теория колец
Wikimedia Foundation. 2010.