Кривизна кривой

Кривизна кривой

В дифференциальной геометрии, кривизна́ — собирательное название ряда количественных характеристик (скалярных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривой, поверхности, риманова пространства и т. д.) от соответствующих «плоских» объектов (прямая, плоскость, евклидово пространство и т. д.).

Обычно кривизна определяется для каждой точки на «объекте» и выражается как значение некоторого дифференциального выражения 2-го порядка. Иногда кривизна определяется в интегральном смысле, например, как мера, такие определения используют для «объектов» пониженной гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль кривизны во всех точках влечёт совпадение (локальное, но не глобальное) изучаемого «объекта» с «плоским» объектом.

В этой статье приводятся только несколько простейших примеров определений понятия кривизны.

Содержание

Кривизна кривой

Пусть γ(t) — регулярная кривая в d-мерном евклидовом пространстве, параметризованная длиной. Тогда

\kappa=|\ddot\gamma(t)|

называется кривизной кривой γ в точке p = γ(t), здесь \ddot\gamma(t) обозначает вторую производную по t. Вектор

k=\ddot\gamma(t)

называется вектором кривизны γ в точке p = γ(t0).

Для кривой, заданной параметрически в общем случае (параметр не обязательно является длиной), кривизна отображается формулой

\kappa=\frac{|\dot\gamma\times \ddot\gamma|}{|\dot\gamma|^3},

где \dot\gamma и \ddot\gamma соответственно обозначают первую и вторую производную радиус-вектора γ в требуемой точке.

Для того чтобы кривая γ совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы кривизна (или вектор кривизны) тождественно равнялась нулю.

Величина, обратная кривизне кривой, называется радиусом кривизны; он совпадает с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Центр этой окружности называется центром кривизны.

Кривизна поверхности

Пусть Φ есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве. Пусть p — точка Φ, Tp — касательная плоскость к Φ в точке p, n — единичная нормаль к Φ в точке p, а — πe плоскость, проходящая через n и некоторый единичный вектор e в Tp. Кривая γe , получающаяся как пересечение плоскости πe с поверхностью Φ, называется нормальным сечением поверхности Φ в точке p в направлении e. Величина

\kappa_e=k\cdot n

где \cdot обозначает скалярное произведение, а k — вектор кривизны γe в точке p, называется нормальной кривизной поверхности Φ в направлении e. С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой γe.

В касательной плоскости Tp существуют два перпендикулярных направления e1 и e2 такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:

κe = κ1cos2α + κ2sin2α

где α — угол между e1 и e2, a величины κ1 и κ2 нормальные кривизны в направлениях e1 и e2, они называются главными кривизнами, а направления e1 и e2 — главными направлениями поверхности в точке p. Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн. Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.

Величина

H = κ1 + κ2, (иногда \frac{\kappa_1+\kappa_2}2)

называется средней кривизной поверхности. Величина

K = κ1κ2

называется гауссовой кривизной поверхности.

Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, в частности не изменяется при изометрических изгибаниях.

См. также

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Кривизна кривой" в других словарях:

  • Кривизна — В дифференциальной геометрии, кривизна собирательное название ряда количественных характеристик (скалярных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривой, поверхности, риманова пространства и т.… …   Википедия

  • КРИВИЗНА — собирательное название ряда количественных характеристик (численных, векторных, тензорных), описывающих отклонение свойств того или иного объекта (кривой, поверхности, риманова пространства и др.) от соответствующих объектов (прямая, плоскость,… …   Математическая энциклопедия

  • Кривизна — величина, характеризующая степень отклонения кривой линии от касательной или кривой поверхности от касательной плоскости. Кривизна кривой в какой либо ее точке равна обратной величине радиуса кривизны в этой точке. Данное понятие обобщается на… …   Начала современного естествознания

  • КРИВОЙ — КРИВОЙ, непрямолинейный, идущий не по прямой черте. Косой, уклонившийся от уровня или отвеса; кривой, уклонившийся от прямой черты, гнутый, лучковый, луковатый. излучистый. | Одноглазый, слепой на один глаз. | ряз. хромой, колченогий. Из… …   Толковый словарь Даля

  • кривизна — ы; ж. 1. к Кривой (1 зн.). К. потолка была заметна. 2. Матем. Величина, характеризующая степень отклонения кривой линии или поверхности от касательной прямой (касательной плоскости). К. поверхности. * * * кривизна величина, характеризующая… …   Энциклопедический словарь

  • КРИВИЗНА — количеств. характеристика, описывающая отклонение кривой, поверхности, риманова пространства и др. соответственно от прямой, плоскости, евклидова пространства и др. Обычно понятие К. вводится локально, т. е. в каждой точке. В декартовых… …   Физическая энциклопедия

  • Кривизна мульды сдвижения — вертикальная деформация земной поверхности, определяемая как отношение наклонов двух соседних интервалов мульды к полусумме длин этих интервалов. Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • КРИВИЗНА — величина, характеризующая отклонение кривой (поверхности) в окрестности данной ее точки от касательной прямой (касательной плоскости). Понятие кривизны обращается на объекты более общей природы. Напр., в римановой геометрии кривизна представляет… …   Большой Энциклопедический словарь

  • КРИВИЗНА — КРИВИЗНА, кривизны, жен. 1. только ед. отвлеч. сущ. к кривой; искривленность, перекошенность. 2. Искривленное, кривое место. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

  • КРИВИЗНА — КРИВИЗНА, ы, жен. 1. см. кривой. 2. Кривое, изогнутое место. К. стола. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»